Kurs 5.1
Gruppentheorie und Topologie

Mathematik, die unser Universum prägt

Zur Akademie Roßleben 2022-5
04.08. - 20.08.2022

Kinder lernen Zahlen typischerweise mit dem Bild des Zahlenstrahls kennen. Gibt es auch einen „Zahlenkreis“? Ja. Man nennt ihn U(1) und kann ihn realisieren, indem man wie mit den Zahlen aus rechnet, aber nach jeder Addition nur die Nachkommastellen behält (z.B. 0,9 + 0,4 = 0,3). Geometrisch gedacht schneidet man das Intervall von 0 bis 1 aus heraus und klebt es an den Enden zu einem Kreis zusammen. Als Herzstück jeder quantenmechanischen Beschreibung von Elektrizität und Magnetismus spielt U(1) eine zentrale Rolle in unserem Verständnis der Natur.

Gibt es andere spannende Objekte, die und U(1) ähneln? Diese Frage führt in das Schnittgebiet zweier aufregender mathematischer Teilgebiete. Gruppen sind Objekte mit einer Rechenoperation, wie z. B. der Addition auf und U(1). Die erste Kurshälfte präzisiert diese Definition und baut die Theorie der Gruppen abstrakt auf. Sogenannte topologische Eigenschaften, wie z.B. dass U(1) einen Kreis bildet und eine Linie ist, sind in den Rechenregeln aber noch nicht beinhaltet. Ihre Theorie – die Topologie – ist Inhalt der zweiten Kurshälfte.

Am Ende des Kurses werden spezielle Gruppen aus der Topologie geometrischer Objekte konstruiert. Diese Vereinigung von Gruppen und Topologie hat weitreichende Folgen und ist z.B. tief verbunden mit der Tatsache, dass eine Rotation um 360° in unserer Welt einen messbaren Unterschied bewirkt, der erst durch eine zweite Rotation um 360° wieder aufgehoben werden kann.

Vor dem Kurs erarbeiten Teilnehmende mit ihnen zur Verfügung gestellter Literatur Referate, um den Kurs aktiv mitzugestalten. Freude an abstraktem Denken ist – im Gegensatz zu konkretem mathematischem Vorwissen – für die Teilnahme unerlässlich.

Die Kursleitung