Kurs 6.1
Gödels (Un)vollständigkeitssätze

Wie sich beweisen lässt, dass es unbeweisbare Aussagen gibt

Zur Akademie Torgelow 2022-6
21.07. - 06.08.2022

„Dreisilbig“ ist dreisilbig, „achtzehnbuchstabig“ ist achtzehnbuchstabig. Trifft aber „nichtselbstbeschreibend“ auf sich selbst zu? Glauben wir der, die behauptet, sie lüge? Solche Selbstbezüge können auch in der Logik auftreten, einem mathematischen Fachgebiet, das untersucht, inwiefern sich die Gültigkeit von Aussagen mithilfe festgelegter Schlussregeln aus Annahmen, genannt Axiome, beweisen lässt.

Die Sprache, um logische Aussagen zu treffen, sowie die Schlussregeln und Axiome nennt man zusammen einen logischen Kalkül. Es liegt nahe, zu fragen:

Kann ein solcher Kalkül alle gültigen Aussagen, die er formulieren kann, auch beweisen?

Gödels berühmte Vollständigkeits- und Unvollständigkeitssätze liefern eine Antwort auf diese Frage. Der bekannteste davon besagt vereinfacht:

Jeder ausreichend ausdrucksstarke Kalkül kann nicht alle wahren Aussagen beweisen, die er formulieren kann.

Ziel des Kurses ist es, Gödels Sätze zu beweisen. Die dazu nötigen Grundlagen der Logik erarbeitet der Kurs durch Vorträge der Teilnehmenden, die sie vor der Akademie vorbereitet haben, durch Vorlesungen der Kursleitenden und Übungsaufgaben. In praktischen, teilweise computergestützten Projekten wenden die Teilnehmenden das Gelernte auf verschiedene praktische Probleme an, darunter das Lösen von Sudokus oder das Finden optimaler Routen für einen Lieferdienst. Aber auch Fragen der Informatik, wie die der sog. NP-Vollständigkeit oder des Designs von Programmiersprachen, sind mögliche Themen.

Mathematische Vorkenntnisse sind nicht erforderlich. Das Arbeiten im Kurs ist deutlich anders als schulischer Mathematikunterricht; Neugier und Interesse an den oben genannten Fragen sind daher die einzigen Voraussetzungen.

Die Kursleitung