Kurs Ö-Sem-05
Teile der realen Welt mathematisch begreifbar machen

Von realen Messdaten zu mathematischen Modellen

Kursleitung: PDin Mag.a Dr.in Hildegard Urban-Woldron, MSc, MAS

In den Naturwissenschaften, in der Technik und in der Wirtschaft werden mathematische Modelle aufgestellt, um vorgegebene Fragestellung zu beantworten.

So können Teile der realen Welt, wie zum Beispiel Ökosysteme, wirtschaftliche Zusammenhänge, Pandemiesituationen oder physikalische Vorgänge aus der Sicht der mathematischen Modellierung unter verschiedenen Gesichtspunkten untersucht werden:

(a) quantitativ als Beschreibung durch Modellgleichungen, zumeist Differenzen- oder Differentialgleichungen, und deren explizite Lösungen,
(b) qualitativ als Beschäftigung mit globalen Fragen zum Modellverhalten, z.B. nach möglichen Gleichgewichten in Ökosystemen und deren Stabilität oder nach dem Langzeitverhalten eines Systems und
(c) in der Computersimulation durch Generieren numerischer Lösungen und Analyse des Systemverhaltens in Abhängigkeit von den Modellparametern.

Im Sinne der empirischen Modellbildung sammelt der Kurs Beobachtungs- und Messdaten zu ausgewählten Beispielen in Tabellen und versucht daraus Gesetzmäßigkeiten abzulesen, Zusammenhänge vielleicht formelmäßig zu erkennen und allenfalls Vorhersagen für die Zukunft zu machen

Besonders interessant sind Modelle, die zu Differenzengleichungen führen, womit sich Änderungen, abhängig vom Ort, von der Zeit, etc. gut beschreiben lassen. Differenzengleichungen führen zu numerischen Ergebnissen.

Werden die Änderungsschritte in Differenzengleichungen immer kleiner gewählt, so führt dies zu einer kontinuierlichen Beschreibung eines Sachverhaltes. Aus dem Mathematikunterricht sind dazu vielleicht bereits die Anwendungen in der Differential- und Integralrechnung bekannt.

Im Kurs untersuchen die Teilnehmenden über den Mathematikunterricht hinaus einerseits Modelle ausgewählter Bereiche aus den Naturwissenschaften, der Technik und der Wirtschaft, die zu Differentialgleichungen führen. Dabei erhalten sie ausreichend Möglichkeiten, individuelle Fragestellungen aus einem reichhaltigen Angebot zu wählen und sich damit vertieft auseinander zu setzen.

Wenn die Differentialgleichungen nicht zu komplex sind, werden Algorithmen zur formalen Lösung angewendet. Für sehr komplexe Gleichungen erarbeiten die Jugendlichen sich numerische Lösungen. Jedenfalls werden alle Ergebnisse kritisch hinterfragt und – wo immer es möglich ist – mit realen Beobachtungen und Messdaten verglichen.

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