Obzwar die Mathematik wie ein Paradies der mannigfaltigsten geistigen Dinge anmuten kann, sind Resultate über Existenz und Eindeutigkeit dieser Objekte fundamental. Für die Anwendungen sind diese Fragen ebenso von Bedeutung. Hat eine neue Gleichung für eine mögliche Satellitenbahn eine Lösung? Ist die Lösung eindeutig oder könnte unser Satellit sich eventuell durch einen zu hohen Anschub auf gänzlich unpraktischen Bahnen bewegen?

Wodurch wird die Lösung bei der physikalischen Beschreibung der Schwingung einer Gitarrensaite eindeutig?

Viel elementarer stellen wir uns im Kurs die Frage: mit welchen Methoden können wir die Lösung einer nichtlinearen Gleichung wie

(1+x²)/(2+2^x)=x³

bestimmen? Hierfür werden wir drei verschiedene numerische Verfahren kennenlernen und sehr einfach implementieren. Auf dem Weg werden wir in die Analysis eintauchen, etliche Existenzsätze erarbeiten und beweisen, Existenzen von Grenzwerten, von Zwischenwerten, von Extrema, sowie von Fixpunkten, d.h. Lösungen von Gleichungen der Form x=f(x) (eine Fixpunktiteration siehe Abbildung). Mit einem sehr allgemeinen Fixpunktsatz werden wir überdies Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von Differenzialgleichungen, beispielsweise von Schwingungsgleichungen, herleiten. Die hierbei verwendete Methode liegt paradigmatisch allen Existenzsätzen der Mathematik zugrunde.

Nicht nur durch Schwingungen betreten wir in unserem Kurs die Gefilden der Musik. Gerade als Kontrast zu unserer sehr rigorosen und analytischen mathematischen Arbeit werden im Kurs Themen zwischen Musik und Mathematik untersucht. In Projekten werden Arbeiten zu Anwendungen von Abzählen und Kombinatorik, zur Wellengleichung einer schwingenden Saite, zum syntonischen Komma oder zum Zusammenhang von Rhythmen und Parkettierungen behandelt.

Der Kurs besteht zu mindestens 3/4 aus Mathematik und wird durch Exkurse, insbesondere in die Musik, abgerundet.